1、一. 定义 因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型: 设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定(半正定)二次型。

(资料图片仅供参考)

2、 相应的，正定(半正定)矩阵和负定(半负定)矩阵的定义为: 令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定(半正定)矩阵;反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0(≤ 0)， 则称A负定(半负定)矩阵。

3、 例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。

4、 二. 正定矩阵的一些判别方法 由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法: 1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。

5、 证明:若 ， 则有 ∴λ＞0 反之，必存在U使 即 有 这就证明了A正定。

6、 由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是:A的特征值全部非负。

7、 2.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。

8、 证明:A正定 二次型 正定 A的正惯性指数为n 3.n阶对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ;进一步有 (B为正定(半正定)矩阵)。

9、 证明:n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使 令 则 令 则 反之， ∴A正定。

10、 同理可证A为半正定时的情况。

11、 4.n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 ，且 。

12、 证明:(1)∵n阶对称矩阵A正定 ∴ 是正定二次型 现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有 ∴ ∴A正定 ∴存在可逆矩阵C ，使 5.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的 n 个顺序主子式全大于零。

13、 证明:必要性: 设二次型 是正定的 对每个k,k=1,2,…,n,令 ， 现证 是一个k元二次型。

14、 ∵对任意k个不全为零的实数 ，有 ∴ 是正定的 ∴ 的矩阵 是正定矩阵 即 即A的顺序主子式全大于零。

15、 充分性: 对n作数学归纳法 当n=1时， ∵ ， 显然 是正定的。

16、 假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。

17、 令 ， ， ∴A可分块写成 ∵A的顺序主子式全大于零 ∴ 的顺序主子式也全大于零 由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使 令 ∴ 再令 ， 有 令 ， 就有 两边取行列式，则 由条件 得a＞0 显然 即A合同于E ， ∴A是正定的。

18、 三. 负定矩阵的一些判别方法 1.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。

19、 2.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。

20、 3.n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足 ， 即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。

21、 由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。

22、 四.半正定矩阵的一些判别方法 1. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。

23、 2. n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。

24、 3. n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。

25、 注:3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如: 矩阵 的顺序主子式 ， ， ， 但A并不是半正定的。

26、 关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。

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